En álgebra debemos de tener en cuenta algunas propiedades que simplifican el tiempo y la forma correcta de desarrollar un problema. Por ello, te presentamos el tema de diferencia de cuadrados, muy desarrollado en el capítulo de productos notables.
Con la teoría y los ejemplos que te brindaremos no quedará dudas sobre el tema. ¡Tome nota!
Diferencia de Cuadrados
La diferencia de cuadrados hace mención a 2 términos algebraicos de la forma:
a² – b²
El resultado de esta diferencia es:
a² – b² = (a-b)(a+b)
Cabe señalar que esta diferencia de cuadrados da como resultado un producto de 2 factores, uno de diferencia y el otro como suma; es decir, la expresión queda factorizado aplicando dicha propiedadad.
Ejemplos:
1 Desarollar: x² – 1²
Aplicando la propiedad aprendida tenemos:
x² – 1² = (x – 1)(x + 1)
2 Desarollar: m² – n²
⇒ m² – n² = (m – n)(m + n)
3 Factorizar: 3² – a²
⇒ 3² – a² = (3 – a)(3 + a)
4 Factorizar: 4x² – 9
En este ejemplo no tiene la forma de diferencia de cuadrados, pero podemos hacer lo siguiente:
⇒ 4x² – 9 = (2x)² – 3²
Entonces tenemos:
(2x)² – 3² = (2x – 3)(2x + 3); luego:
∴ 4x² – 9 = (2x – 3)(2x + 3)
5 Factorizar: 64 – b²
⇒ 64 – b² = 8² – b² = (8 – b)(8 + b)
6 Factorizar: 9x² – 25²
⇒ 9x² – 25² = (3x)² – 5² = (3x – 5)(3x + 5)
7 Factorizar: y² – 900²
⇒ y² – 900² = y² – 30² = (y – 30)(y + 30)
8 Factorizar: 9x4 – 4y²
⇒ 9x4 – 4y² = (3x²)² – (2y)² = (3x² – 2y)(3x² + 2y)
9 Resolver: 16x8 – 1
⇒ 16x8 – 1 = (4x4)² – 1² = (4x4 – 1)(4x4 + 1)
Observación:
La propiedad de diferencia de cuadrados también podemos escribirlo en forma inversa, así:
(a-b)(a+b) = a² – b²
Veamos un ejemplo aplicativo de esta forma.
10 Calcular: M = 2020² – 2022.2018
Para desarrollar este ejemplo, utilizaremos algunos artificios desde el enunciado, observe:
⇒ M = 2020² – 2022.2018 = 2020² – (2020 + 2)(2020 – 2)
Aplicamos diferencia de cuadrados, tenemos:
⇒ M = 2020² – (2020² – 2²)
Desarrollando:
∴ M = 4